ТЕМА 42 / 55 · ПУНКТ 42 10–15 минут

Замкнутое множество и частичные пределы

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки10 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$j$: Индекс: номер выбранного члена, цифры или слагаемого.
$F$: Замкнутое множество: оно содержит все свои предельные точки.
$L$: Множество всех частичных пределов последовательности.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\subseteq$: «Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

$F\subseteq\R$ замкнуто, если содержит все свои предельные точки.
Равносильно: предел любой сходящейся последовательности точек из $F$ снова лежит в $F$ .
Для ограниченной $(x_n)$ обозначим $L$ множество её частичных пределов.

Факт

$L$ замкнуто.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Замкнутое множество

Замкнутое множество содержит все свои предельные точки: если xₙ∈F и xₙ→a, то a∈F.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Пусть $a_j\in L$ и $a_j\to a$ .
Для каждого $j$ выбери член $x_{n_j}$ так, чтобы $n_j>n_{j-1}$ и $|x_{n_j}-a_j|<1/j$ : это возможно, потому что к $a_j$ сходится некоторая подпоследовательность исходной.
Тогда $|x_{n_j}-a|\le|x_{n_j}-a_j|+|a_j-a|\to0$ , поэтому $a\in L$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.