ТЕМА 34 / 55 · ПУНКТ 34 10–15 минут

Монотонная последовательность

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки9 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$N$: Номер, начиная с которого утверждение верно для всех следующих членов.
$s$: Частичная сумма ряда: сумма первых нескольких слагаемых.
$\N$: Множество натуральных чисел: 1, 2, 3, …
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\sup$: Супремум: наименьшая из всех верхних граней множества.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Если $x_n$ не убывает и ограничена сверху, то $x_n\to\sup\{x_n:n\in\N\}$ .

Если не возрастает и ограничена снизу, то сходится к инфимуму.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Монотонность и ограниченность

Возрастающая ограниченная сверху последовательность поднимается к своему супремуму.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Пусть $s=\sup\{x_n\}$ .
По свойству супремума для любого $\eps>0$ найдётся $N$ с $s-\eps<x_N\le s$ .
При $n\ge N$ монотонность даёт $s-\eps<x_N\le x_n\le s$ , то есть $|x_n-s|<\eps$ .
Для невозрастающей последовательности примени это к $-x_n$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.