ТЕМА 33 / 55 · ПУНКТ 33 10–15 минут

Критерий Коши для числовой последовательности

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки9 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$m$: Другой натуральный номер; помогает сравнить два члена.
$N$: Номер, начиная с которого утверждение верно для всех следующих членов.
$j$: Индекс: номер выбранного члена, цифры или слагаемого.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Последовательность в $\R$ сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Критерий Коши

Вещественная последовательность сходится тогда и только тогда, когда расстояния между далёкими членами становятся малы.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Необходимость доказана в пункте 32.
Для достаточности фундаментальная последовательность ограничена: её хвост лежит в шаре радиуса $1$ около одного из членов, первые члены конечны.
По Больцано–Вейерштрассу (пункт 41) есть подпоследовательность $x_{n_j}\to a$ .
Для данного $\eps$ выбери $N$ , чтобы $|x_n-x_m|<\eps/2$ при $n,m>N$ , и $j$ так, чтобы $n_j>N$ , $|x_{n_j}-a|<\eps/2$ .
Тогда при $n>N$ имеем $|x_n-a|\le|x_n-x_{n_j}|+|x_{n_j}-a|<\eps$ .
Использование пункта 41 здесь не круговое: он доказывается непосредственно вложенными отрезками.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.