ТЕМА 36 / 55 · ПУНКТ 36 10–15 минут

Последовательность $(1+1/n)^n$

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки8 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$k$: Натуральный номер или фиксированное количество шагов.
$j$: Индекс: номер выбранного члена, цифры или слагаемого.
$e$: Число Эйлера: примерно 2,71828.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

$a_n=(1+1/n)^n$ возрастает, ограничена сверху и потому имеет предел $e$ .

Ловушка

Название «второй замечательный предел» также используют для $\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$ ; его версия для функций дана в пункте 55.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Рост к числу e

Члены (1+1/n)ⁿ растут, но остаются ниже e; график показывает приближение снизу.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Бином даёт $a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}(1-j/n)$ (пустое произведение равно $1$ ).
Для фиксированного $k$ каждый множитель $1-j/n$ растёт с $n$ , а при переходе $n\to n+1$ появляется ещё один неотрицательный член.
Значит $a_{n+1}\ge a_n$ .
Так как все множители не больше $1$ , $a_n\le\sum_{k=0}^{n}1/k!$ .
Для $k\ge2$ имеем $k!\ge2^{k-1}$ , поэтому $\sum_{k=0}^{n}1/k!<1+\sum_{k=1}^{\infty}2^{1-k}=3$ .
Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.