ТЕМА 27 / 55 · ПУНКТ 27 10–15 минут

Предел последовательности

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки11 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$N$: Номер, начиная с которого утверждение верно для всех следующих членов.
$d$: Расстояние между двумя точками.
$X$: Множество исходных элементов; для функции — её область определения.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\forall$: «Для любого»: утверждение должно быть верно при каждом допустимом выборе.
$\exists$: «Существует»: достаточно найти хотя бы один подходящий объект.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

В метрическом пространстве $(X,d)$ запись $x_n\to a$ означает $\forall\eps>0\ \exists N\ \forall n>N:\ d(x_n,a)<\eps$ .
В нормированном пространстве вместо $d$ пишут $\|x_n-a\|$ .
В $\R$ это $|x_n-a|<\eps$ .

Смысл

Сначала собеседник выбирает любую точность $\eps$ , затем ты находишь номер $N$ , после которого все члены находятся в $\eps$ -шаре вокруг $a$ .

Пример

$1/n\to0$ : по Архимеду выбери $N>1/\eps$ , и для $n>N$ будет $1/n<\eps$ .

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Определение предела

Какую бы узкую ε-полоску вокруг a ни задали, все члены последовательности после некоторого N попадут в неё.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.