ТЕМА 40 / 55 · ПУНКТ 40 10–15 минут

Частичные пределы, верхний и нижний пределы

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки10 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$k$: Натуральный номер или фиксированное количество шагов.
$r$: Радиус шара или окрестности.
$u$: Отдельное слагаемое числового ряда.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.
$\limsup$: Верхний предел: наибольший возможный частичный предел ограниченной последовательности.
$\liminf$: Нижний предел: наименьший возможный частичный предел ограниченной последовательности.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Частичный предел — предел некоторой подпоследовательности.
Для ограниченной $(x_n)$ положим $u_n=\sup_{k\ge n}x_k$ , $\ell_n=\inf_{k\ge n}x_k$ .
Тогда $u_n$ не возрастает, $\ell_n$ не убывает.
$\limsup x_n=\lim u_n=\inf_nu_n$ , $\liminf x_n=\lim\ell_n=\sup_n\ell_n$ .
Для произвольной последовательности те же формулы допустимы в расширенной прямой $[-\infty,+\infty]$ .

Факт

Для ограниченной последовательности $\limsup$ — наибольший частичный предел, $\liminf$ — наименьший.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Верхний и нижний пределы

Если чётные члены идут к 1, а нечётные к −1, у всей последовательности два частичных предела.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Рекурсивно положим $r_n=\max\{n,k_{n-1}+1\}$ и выберем $k_n\ge r_n$ с $x_{k_n}>u_{r_n}-1/n$ (это возможно по определению супремума).
Также $x_{k_n}\le u_{r_n}$ .
Так как $r_n\to\infty$ и $u_{r_n}\to\limsup x_n$ , получаем $x_{k_n}\to\limsup x_n$ .
Любой иной частичный предел $a$ не превышает каждого хвостового $u_n$ , значит $a\le\lim u_n$ .
Нижний случай симметричен.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.