ТЕМА 43 / 55 · ПУНКТ 43 10–15 минут

Критерий Коши для ряда

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки10 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$m$: Другой натуральный номер; помогает сравнить два члена.
$N$: Номер, начиная с которого утверждение верно для всех следующих членов.
$k$: Натуральный номер или фиксированное количество шагов.
$u$: Отдельное слагаемое числового ряда.
$s$: Частичная сумма ряда: сумма первых нескольких слагаемых.
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\forall$: «Для любого»: утверждение должно быть верно при каждом допустимом выборе.
$\exists$: «Существует»: достаточно найти хотя бы один подходящий объект.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится тогда и только тогда, когда $\forall\eps>0\ \exists N\ \forall m>n\ge N:\left|\sum_{k=n+1}^{m}u_k\right|<\eps$ .

Пример

Гармонический ряд $\sum1/n$ расходится: блок от $n+1$ до $2n$ содержит $n$ слагаемых не меньше $1/(2n)$ , поэтому его сумма не меньше $1/2$ и условие Коши нарушено.

РАЗБЕРИ ПО РИСУНКУ

Хвост гармонического ряда не становится маленьким

Между n и 2n ровно n слагаемых, и каждое не меньше 1/(2n). Их сумма всегда ≥ 1/2.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Доказательство

Частичные суммы $s_n=\sum_{k=1}^{n}u_k$ образуют числовую последовательность.
По критерию Коши пункта 33 она сходится тогда и только тогда, когда $|s_m-s_n|<\eps$ в хвосте.
Разность $s_m-s_n$ и есть указанная сумма.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.

ПредыдущаяЗамкнутое множество и частичные пределыСледующая Необходимое условие сходимости ряда