Фундаментальная последовательность и полнота

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$

Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.

$a$

Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.

$n$

Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.

$m$

Другой натуральный номер; помогает сравнить два члена.

$N$

Номер, начиная с которого утверждение верно для всех следующих членов.

$d$

Расстояние между двумя точками.

$\Q$

Множество рациональных чисел: дробей вида p/q, где q ≠ 0.

$\R$

Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.

$\varepsilon$

Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.

$\forall$

«Для любого»: утверждение должно быть верно при каждом допустимом выборе.

$\exists$

«Существует»: достаточно найти хотя бы один подходящий объект.

$\to$

Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.