ТЕМА 37 / 55 · ПУНКТ 37 10–15 минут

Числовой ряд

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки8 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$N$: Номер, начиная с которого утверждение верно для всех следующих членов.
$u$: Отдельное слагаемое числового ряда.
$s$: Частичная сумма ряда: сумма первых нескольких слагаемых.
$q$: Число, выбранное в условии задачи; его ограничения написаны рядом с формулой.
$S$: Сумма бесконечного ряда, если ряд сходится.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ — запись для последовательности частичных сумм $s_N=\sum_{n=1}^{N}u_n$ .
Ряд сходится к $S$ , если $s_N\to S$ .
Иначе расходится.
Буква $N$ — номер последнего сложенного члена.

Пример

Геометрический ряд $\sum_{n=0}^{\infty}q^n=1/(1-q)$ при $|q|<1$ : конечная сумма $(1-q^{N+1})/(1-q)$ , а $q^{N+1}\to0$ .

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Ряд — предел частичных сумм

Ряд ∑aₖ сходится, когда последовательность сумм Sₙ=a₁+⋯+aₙ имеет конечный предел.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.