ТЕМА 39 / 55 · ПУНКТ 39 10–15 минут

Подпоследовательность

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки8 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$N$: Номер, начиная с которого утверждение верно для всех следующих членов.
$j$: Индекс: номер выбранного члена, цифры или слагаемого.
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Подпоследовательность $(x_{n_j})$ получается выбором строго возрастающих номеров $n_1<n_2<\cdots$ .
Из строгого роста следует $n_j\ge j$ , значит $n_j\to\infty$ .

Факт

Если $x_n\to a$ , то всякая подпоследовательность $x_{n_j}\to a$ .

Пример

У $x_n=(-1)^n$ есть подпоследовательности, сходящиеся к $1$ и $-1$ , хотя вся последовательность не сходится.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Подпоследовательность

Подпоследовательность оставляет члены исходной последовательности с возрастающими номерами n₁<n₂<… .

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Для заданного $\eps$ исходная последовательность попадает в $\eps$ -окрестность при $n>N$ .
Поскольку $n_j\ge j$ , при $j>N$ туда попадают и выбранные члены.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.