ТЕМА 41 / 55 · ПУНКТ 41 10–15 минут

Теорема Больцано Вейерштрасса

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки7 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$k$: Натуральный номер или фиксированное количество шагов.
$j$: Индекс: номер выбранного члена, цифры или слагаемого.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Всякая ограниченная числовая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.

Если последовательность не ограничена, у неё есть подпоследовательность, стремящаяся к $+\infty$ или к $-\infty$ (в расширенной прямой).

Ловушка

Неограниченная последовательность не обязана иметь конечный частичный предел: $x_n=n$ .

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Больцано — Вейерштрасс

Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Для ограниченной последовательности возьми отрезок, содержащий все члены.
При делении пополам хотя бы одна половина содержит члены с неограниченно большими номерами.
Выбираем её и повторяем, получая вложенные отрезки длины $\to0$ .
По пункту 22 их общая точка $a$ единственна.
Из $n$ -го отрезка выбираем $x_{k_n}$ с $k_n>k_{n-1}$ .
Тогда $|x_{k_n}-a|$ не больше длины отрезка и стремится к нулю.
Если последовательность не ограничена сверху, рекурсивно выбираем $k_j$ с $x_{k_j}>j$ .
Это возможно после любого номера, иначе вся последовательность была бы ограничена сверху.
Получаем $x_{k_j}\to+\infty$ .
Если верхняя ограниченность есть, а общая ограниченность нет, аналогично получаем подпоследовательность к $-\infty$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.