ТЕМА 29 / 55 · ПУНКТ 29 10–15 минут

Предел суммы, произведения и частного

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки8 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$y$: Другое число или результат функции: часто пишут y = f(x).
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$b$: Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$M$: Верхняя граница: число, выше которого значения не поднимаются.
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Если $x_n\to a$ , $y_n\to b$ , то $x_n+y_n\to a+b$ , $x_ny_n\to ab$ ; при $b\ne0$ и $y_n\ne0$ начиная с некоторого номера имеем $x_n/y_n\to a/b$ .

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Арифметика пределов

Если xₙ→a и yₙ→b, то xₙ+yₙ→a+b; для произведения и частного работают свои оценки.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Сумма: $|(x_n+y_n)-(a+b)|\le|x_n-a|+|y_n-b|$ , каждый член делаем меньше $\eps/2$ .
Произведение: $x_ny_n-ab=(x_n-a)y_n+a(y_n-b)$ ; последовательность $y_n$ ограничена, скажем $|y_n|\le M$ , поэтому правая часть по модулю не больше $M|x_n-a|+|a||y_n-b|\to0$ .
Для частного: из $y_n\to b\ne0$ следует $|y_n|>|b|/2$ в хвосте; тогда $\left|\frac{x_n}{y_n}-\frac ab\right|\le \frac{2}{|b|}|x_n-a|+\frac{2|a|}{|b|^2}|y_n-b|\to0.$

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.