ТЕМА 30 / 55 · ПУНКТ 30 10–15 минут

Предел степеней и корней

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки8 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$k$: Натуральный номер или фиксированное количество шагов.
$j$: Индекс: номер выбранного члена, цифры или слагаемого.
$u$: Выбранный элемент множества или левый конец промежутка.
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Если $x_n\to a$ , то $x_n^k\to a^k$ для целого $k\ge2$ .

Если $x_n\ge0$ , $a\ge0$ , то $\sqrt[k]{x_n}\to\sqrt[k]{a}$ .

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Непрерывные операции

При a ≥ 0 корень сохраняет предел: xₙ→a и xₙ≥0 дают √xₙ→√a.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Для степеней повторно применяем правило произведения из пункта 29 (или формулу $x_n^k-a^k=(x_n-a)\sum_{j=0}^{k-1}x_n^{k-1-j}a^j$ ; сумма ограничена).
Для корней обозначим $u_n=\sqrt[k]{x_n}$ , $u=\sqrt[k]{a}$ .
При $a>0$ имеем $|u_n-u|=|x_n-a|/(u_n^{k-1}+u_n^{k-2}u+\cdots+u^{k-1})\le |x_n-a|/u^{k-1}\to0$ .
При $a=0$ : для любого $\eps>0$ начиная с некоторого номера $x_n<\eps^k$ , значит $u_n<\eps$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.