ТЕМА 28 / 55 · ПУНКТ 28 10–15 минут

Общие свойства предела

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки7 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$b$: Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$d$: Расстояние между двумя точками.
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Предел единственен.

Сходящаяся последовательность ограничена.

В любой окрестности предела содержатся все члены начиная с некоторого номера, следовательно бесконечно много членов, если считать их с номерами.

Ловушка

«Бесконечно много элементов» может означать бесконечно много номеров; у постоянной последовательности разных значений всего одно.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Предел единственен

Хвост последовательности не может одновременно навсегда жить в двух непересекающихся окрестностях разных чисел.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Если $x_n\to a$ и $x_n\to b$ при $a\ne b$ , возьми $\eps=d(a,b)/3$ .
Для больших $n$ одновременно $d(x_n,a)<\eps$ и $d(x_n,b)<\eps$ , но тогда $d(a,b)<2d(a,b)/3$ , невозможно.
Для ограниченности возьми $\eps=1$ : хвост лежит в шаре радиуса $1$ около $a$ , а конечное число первых членов тоже помещается в некоторый шар.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.