ТЕМА 25 / 55 · ПУНКТ 25 10–15 минут

Лемма о предельной точке

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки6 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$E$: Множество вещественных чисел, которое изучаем.
$I$: Набор индексов или промежуток; точный смысл указан в формуле.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\subseteq$: «Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

У любого бесконечного ограниченного $E\subset\R$ есть предельная точка.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Точки всё ближе к a

Из каждой окрестности радиуса 1/n выбираем xₙ ≠ a; тогда расстояние |xₙ−a| < 1/n → 0.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Поместим $E$ в отрезок $I_1$ .
Делим его пополам; хотя бы одна половина содержит бесконечно много точек $E$ (иначе их объединение было бы конечно).
Выбираем такую половину как $I_2$ и повторяем.
Получаем вложенные $I_n$ длиной $|I_1|/2^{n-1}\to0$ .
По пункту 22 есть единственная общая точка $a$ .
Любая окрестность $a$ содержит целиком достаточно малый $I_n$ , а в нём бесконечно много точек $E$ , в том числе точку, отличную от $a$ .
Значит $a$ предельная.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.