ТЕМА 26 / 55 · ПУНКТ 26 10–15 минут

Метрика, норма и модуль

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки10 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$y$: Другое число или результат функции: часто пишут y = f(x).
$d$: Расстояние между двумя точками.
$z$: Третий элемент или третья точка, помимо x и y.
$X$: Множество исходных элементов; для функции — её область определения.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\lambda$: Число, на которое умножаем вектор при проверке свойства нормы.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\times$: Декартово произведение: множество упорядоченных пар.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Метрика $d:X\times X\to[0,\infty)$ задаёт расстояние: $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ .
$d(x,y)=d(y,x)$ .
$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ .
Норма $\|x\|$ в линейном пространстве удовлетворяет $\|x\|\ge0$ и $\|x\|=0\Leftrightarrow x=0$ .
$\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$ .
$\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|$ .
Норма задаёт метрику $d(x,y)=\|x-y\|$ .

Пример

В $\R$ норма — модуль $|x|$ ; в $\R^2$ евклидова норма $\|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}$ .

Дискретная метрика равна $0$ для одинаковых точек и $1$ для разных.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Модуль как расстояние

На прямой расстояние между x и y равно |x−y|; оно всегда неотрицательно и равно нулю только при x=y.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Для $d(x,y)=\|x-y\|$ неравенство треугольника следует из $x-z=(x-y)+(y-z)$ и аксиомы нормы; остальные аксиомы очевидны.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.