ТЕМА 35 / 55 · ПУНКТ 35 10–15 минут

Четыре основных предела

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки10 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$N$: Номер, начиная с которого утверждение верно для всех следующих членов.
$r$: Радиус шара или окрестности.
$q$: Число, выбранное в условии задачи; его ограничения написаны рядом с формулой.
$t$: Вспомогательное число или новая переменная, введённая в доказательстве.
$h$: Небольшая положительная прибавка, которой сдвигаем число.
$C$: Ещё одно множество или предельное значение, указанное в формуле.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

При $|q|>1$ имеем $n/q^n\to0$ ; $\sqrt[n]{n}\to1$ ; для $a>0$ имеем $\sqrt[n]{a}\to1$ ; для любого $q\in\R$ имеем $q^n/n!\to0$ .

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Четыре основных предела

При |q|>1 экспонента qⁿ обгоняет n. Факториал n! обгоняет qⁿ. Корни ⁿ√n и ⁿ√a приближаются к 1.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Для первого положим $r=|q|>1$ и $h=r-1>0$ .
По биному $r^n=(1+h)^n\ge\binom n2 h^2$ , поэтому $n/r^n\le2/((n-1)h^2)\to0$ .
Для второго положим $\sqrt[n]{n}=1+t_n$ .
По биному $n=(1+t_n)^n\ge\binom n2t_n^2$ , значит $0\le t_n\le\sqrt{2/(n-1)}\to0$ .
Для третьего, если $a\ge1$ , то $1\le a^{1/n}\le 1+(a-1)/n$ по неравенству Бернулли $(1+t)^n\ge1+nt$ с $t=a^{1/n}-1$ ; точнее отсюда $t\le(a-1)/n$ .
Если $0<a<1$ , применяем это к $1/a$ и берём обратные числа.
Для четвёртого выбери $N>2|q|$ .
При $n>N$ отношение модулей соседних членов $|q|/(n+1)<1/2$ , поэтому $|q|^n/n!\le C\cdot 2^{-(n-N)}\to0$ для постоянной $C$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.