∑КОЛЛОК.
Тренажёр по матанализу
ТЕМА 38 / 55 · ПУНКТ 38 10–15 минут

Число ee как ряд и его иррациональность

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки13 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

aa
Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
nn
Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
mm
Другой натуральный номер; помогает сравнить два члена.
kk
Натуральный номер или фиксированное количество шагов.
ee
Число Эйлера: примерно 2,71828.
qq
Целое число в дроби p/q; знаменатель, не равный нулю.
pp
Целое число в дроби p/q; обычно числитель.
N\N
Множество натуральных чисел: 1, 2, 3, …
Q\Q
Множество рациональных чисел: дробей вида p/q, где q ≠ 0.
∈\in
«Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
→\to
Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
∞\infty
Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.
lim inf⁡\liminf
Нижний предел: наименьший возможный частичный предел ограниченной последовательности.
ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

e=∑k=0∞1/k!e=\sum_{k=0}^{\infty}1/k!, и e∉Qe\notin\Q.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Число e как сумма
neSₙ = ∑ₖ₌₀ⁿ 1/k!
Суммы 1+1/1!+⋯+1/n! подходят к e. Остаток после n! положителен и быстро убывает.
ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Доказательство

Часть 01
  1. Равенство с пределом пункта 36: для каждого фиксированного mm биномиальная формула даёт lim inf⁡an≥∑k=0m1/k!\liminf a_n\ge\sum_{k=0}^{m}1/k!, а an≤∑k=0n1/k!≤eрядa_n\le\sum_{k=0}^{n}1/k!\le e_{\rm ряд}.
  2. При m→∞m\to\infty получаем lim⁡an=eряд\lim a_n=e_{\rm ряд}.
Часть 02
  1. Для иррациональности допустим e=p/qe=p/q, где p,q∈Np,q\in\N.
  2. Положим eq=∑k=0q1/k!e_q=\sum_{k=0}^{q}1/k!.
  3. По разрешённой в программе оценке хвоста e=eq+θq/(q!q)e=e_q+\theta_q/(q!q), где 0<θq<10<\theta_q<1.
  4. Умножаем на q!q!: число q!e=(q!/q)pq!e=(q!/q)p целое, и q!eq=∑k=0qq!/k!q!e_q=\sum_{k=0}^{q}q!/k! тоже целое.
  5. Но их разность равна θq/q∈(0,1)\theta_q/q\in(0,1), а разность двух целых не может лежать между 00 и 11.
  6. Противоречие.
Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.
ПредыдущаяЧисловой ряд