ТЕМА 23 / 55 · ПУНКТ 23 10–15 минут

Лемма Гейне Бореля Лебега

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки11 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$y$: Другое число или результат функции: часто пишут y = f(x).
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$b$: Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$c$: Заданное число или точка, о которой идёт речь.
$u$: Выбранный элемент множества или левый конец промежутка.
$v$: Второй выбранный элемент или правый конец интервала.
$S$: Сумма бесконечного ряда, если ряд сходится.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\sup$: Супремум: наименьшая из всех верхних граней множества.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Из любого покрытия отрезка $[a,b]$ открытыми интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.

Ловушка

Открытость покрывающих интервалов существенна: покрытие $[0,1]$ множествами $[0,1-1/n]$ и $\{1\}$ конечного подпокрытия не имеет.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Конечное подпокрытие

Если отрезок покрыт открытыми интервалами, можно выбрать конечное число интервалов, которые всё ещё его покрывают.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Пусть $S=\{x\in[a,b]:[a,x]\text{ уже покрывается конечным числом данных интервалов}\}$ .
Оно непусто: интервал покрытия, содержащий $a$ , покрывает начальный кусочек.
Положим $c=\sup S$ .
Найдётся интервал $(u,v)$ покрытия с $c\in(u,v)$ .
По свойству супремума выберем $x\in S$ так близко к $c$ , что $x>u$ .
К конечному покрытию $[a,x]$ добавим $(u,v)$ ; получим покрытие $[a,y]$ для некоторого $y>c$ , если $c<b$ .
Это противоречит определению $c$ .
Значит $c=b$ .
Тем же аргументом, взяв $x\in S$ внутри интервала, содержащего $b$ , добавим этот интервал и покроем весь $[a,b]$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.