ТЕМА 21 / 55 · ПУНКТ 21 10–15 минут

Промежутки и окрестности

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки8 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$b$: Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
$U$: Универсальное множество: все объекты, среди которых берём дополнение.
$f$: Функция: правило, которое каждому допустимому аргументу сопоставляет значение.
$\delta$: Насколько близко должен быть аргумент, чтобы обеспечить точность ε.
$\setminus$: Разность: элементы первого множества, которых нет во втором.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

$[a,b]=\{x:a\le x\le b\}$ — отрезок, $(a,b)$ — интервал, $[a,b)$ и $(a,b]$ — полуинтервалы.
$U_\delta(a)=(a-\delta,a+\delta)$ — $\delta$ -окрестность точки $a$ .
$\dot U_\delta(a)=U_\delta(a)\setminus\{a\}$ — проколотая окрестность.

Пример

В записи $\lim_{x\to a}f(x)$ значение $f(a)$ вообще не важно: предел смотрит на проколотые окрестности.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Окрестность точки

Окрестность радиуса ε вокруг a — это все x, для которых |x−a| < ε.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.