∑КОЛЛОК.
Тренажёр по матанализу
ТЕМА 19 / 55 · ПУНКТ 19 10–15 минут

Десятичная модель действительного числа

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки9 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

xx
Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
nn
Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
mm
Другой натуральный номер; помогает сравнить два члена.
jj
Индекс: номер выбранного члена, цифры или слагаемого.
dd
Цифра в десятичной записи числа; dⱼ — цифра с номером j.
uu
Выбранный элемент множества или левый конец промежутка.
vv
Второй выбранный элемент или правый конец интервала.
Z\Z
Множество целых чисел: …, −2, −1, 0, 1, 2, …
∈\in
«Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
ШАГ 01

Разбираемся в теме

Смысл

Конечное число знаков задаёт интервал; всё число — единственная точка во вложенных десятичных интервалах.

Определение и обозначения
  • Запись x=m,d1d2…x=m,d_1d_2\dots, где m∈Zm\in\Z, dj∈{0,…,9}d_j\in\{0,\dots,9\}, означает предел рациональных усечений xn=m+∑j=1ndj10−jx_n=m+\sum_{j=1}^n d_j10^{-j} для x≥0x\ge0 (для отрицательных чисел сначала записывают ∣x∣|x|).
  • Интервалы [xn,xn+10−n][x_n,x_n+10^{-n}] вложены и имеют длину 10−n→010^{-n}\to0, поэтому определяют единственное число.
НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Десятичные приближения
x121.41.51.41…12
Каждая новая цифра сужает отрезок: 1 < x < 2, затем 1.4 < x < 1.5, затем 1.41 < x < 1.42.
ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Доказательство

  1. Единственность точки: если u,vu,v лежат во всех интервалах, ∣u−v∣≤10−n|u-v|\le10^{-n} при каждом nn.
  2. По принципу Архимеда это возможно только при u=vu=v.
  3. Существование следует из леммы о вложенных отрезках (пункт 22).
  4. Две записи иногда дают одно число: 0,999⋯=10{,}999\dots=1, поскольку 1−∑j=1n9⋅10−j=10−n→01-\sum_{j=1}^n9\cdot10^{-j}=10^{-n}\to0.
Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.
ПредыдущаяМатематическая индукция