ТЕМА 22 / 55 · ПУНКТ 22 10–15 минут

Лемма о вложенных отрезках

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки10 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$b$: Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$m$: Другой натуральный номер; помогает сравнить два члена.
$c$: Заданное число или точка, о которой идёт речь.
$d$: Расстояние между двумя точками.
$I$: Отрезок; Iₙ — отрезок с номером n.
$\subseteq$: «Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.
$\varnothing$: Пустое множество: в нём нет ни одного элемента.
$\sup$: Супремум: наименьшая из всех верхних граней множества.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Если $I_n=[a_n,b_n]$ — непустые замкнутые отрезки и $I_{n+1}\subseteq I_n$ , то $\bigcap_n I_n\ne\varnothing$ .

Если вдобавок $b_n-a_n\to0$ , общая точка ровно одна.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Вложенные отрезки

Каждый следующий отрезок лежит в предыдущем. При длинах, стремящихся к нулю, остаётся одна общая точка.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Левые концы $a_n$ не убывают и ограничены сверху любым $b_m$ : при $n\ge m$ имеем $a_n\le b_n\le b_m$ , а при $n<m$ также $a_n\le a_m\le b_m$ .
Положим $c=\sup\{a_n\}$ .
Тогда $a_m\le c\le b_m$ для любого $m$ , то есть $c$ лежит во всех $I_m$ .
Если $c,d$ обе общие точки, то $|c-d|\le b_n-a_n\to0$ , следовательно $c=d$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.