∑КОЛЛОК.
Тренажёр по матанализу
ТЕМА 14 / 55 · ПУНКТ 14 10–15 минут

Аксиома полноты и существование иррационального 2\sqrt2

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки16 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

xx
Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
aa
Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
bb
Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
cc
Заданное число или точка, о которой идёт речь.
rr
Целое число, введённое после доказательства, что p чётно.
ss
Точная верхняя грань (супремум) множества, введённая в доказательстве.
qq
Целое число в дроби p/q; знаменатель, не равный нулю.
hh
Небольшая положительная прибавка, которой сдвигаем число.
pp
Целое число в дроби p/q; обычно числитель.
AA
Множество: набор элементов, для которых проверяем свойство.
BB
Другое множество, с которым сравниваем A.
SS
Сумма бесконечного ряда, если ряд сходится.
R\R
Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
∈\in
«Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
⊆\subseteq
«Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.
sup⁡\sup
Супремум: наименьшая из всех верхних граней множества.
ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения
  • Одна форма полноты: если непустые множества A,B⊂RA,B\subset\R удовлетворяют a≤ba\le b при всех a∈A,b∈Ba\in A,b\in B, существует c∈Rc\in\R с a≤c≤ba\le c\le b для всех таких a,ba,b.
  • Равносильная форма — у всякого непустого ограниченного сверху множества есть точная верхняя грань sup⁡A\sup A.
НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Где лежит √2
x12√21²=12²=4
1² < 2 < 2², поэтому √2 лежит между 1 и 2; рационального числа с квадратом 2 нет.
ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Доказательство

Часть 01
  1. Пусть S={x≥0:x2<2}S=\{x\ge0:x^2<2\} и s=sup⁡Ss=\sup S.
  2. Множество непусто (1∈S1\in S) и ограничено сверху числом 22.
  3. Покажем s2=2s^2=2.
  4. Если s2<2s^2<2, можно взять маленькое h>0h>0 так, что (s+h)2<2(s+h)^2<2 (достаточно h<min⁡{1,(2−s2)/(2s+1)}h<\min\{1,(2-s^2)/(2s+1)\}), тогда s+h∈Ss+h\in S, противоречие.
  5. Если s2>2s^2>2, берём малое h∈(0,s)h\in(0,s) с (s−h)2>2(s-h)^2>2; тогда все x∈Sx\in S меньше s−hs-h, и ss не наименьшая верхняя граница.
  6. Значит s2=2s^2=2 и s=2s=\sqrt2.
Часть 02
  1. Иррациональность: допустим 2=p/q\sqrt2=p/q, где целые p,qp,q взаимно просты и q≠0q\ne0.
  2. Тогда p2=2q2p^2=2q^2, поэтому pp чётен: квадрат нечётного числа нечётен.
  3. Пишем p=2rp=2r, получаем q2=2r2q^2=2r^2, то есть qq тоже чётен.
  4. Это противоречит взаимной простоте.
Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.
ПредыдущаяСледствия из аксиом поля и порядка