∑КОЛЛОК.
Тренажёр по матанализу
ТЕМА 10 / 55 · ПУНКТ 10 10–15 минут

Аксиомы вещественных чисел

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки5 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

aa
Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
bb
Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
cc
Заданное число или точка, о которой идёт речь.
R\R
Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
∈\in
«Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения
  • На R\R заданы сложение ++ и умножение ⋅\cdot.
  • Для любых a,b,c∈Ra,b,c\in\R: a+b=b+aa+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c).
  • Есть 00 с a+0=aa+0=a и −a-a с a+(−a)=0a+(-a)=0.
  • ab=baab=ba, (ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc).
  • Есть 1≠01\ne0 с a1=aa1=a и для a≠0a\ne0 есть a−1a^{-1} с aa−1=1aa^{-1}=1.
  • a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac.
  • Это аксиомы поля.
  • Часто точку умножения опускают: ab=a⋅bab=a\cdot b.
Смысл

Аксиома — стартовое правило, которое не доказывают внутри этой системы.

Следствия, например 0a=00a=0, уже доказывают.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Вещественная прямая
x−101ℝполе + порядок + полнота
У вещественных чисел есть сложение, умножение, линейный порядок и свойство полноты.
Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.
ПредыдущаяВысказывания и кванторы