ТЕМА 16 / 55 · ПУНКТ 16 10–15 минут

Принцип точной грани

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки11 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$b$: Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
$s$: Точная верхняя грань (супремум) множества, введённая в доказательстве.
$A$: Множество: набор элементов, для которых проверяем свойство.
$B$: Другое множество, с которым сравниваем A.
$E$: Множество вещественных чисел, которое изучаем.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\subseteq$: «Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.
$\sup$: Супремум: наименьшая из всех верхних граней множества.
$\inf$: Инфимум: наибольшая из всех нижних граней множества.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Всякое непустое ограниченное сверху $E\subset\R$ имеет $\sup E\in\R$ ; для нижней грани — симметрично.

Это одна из форм полноты $\R$ .

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Наименьшая верхняя грань

Каждая верхняя грань лежит справа от sup A; меньшие числа уже не могут ограничивать A сверху.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Из разделяющей аксиомы пункта 14: возьми $A=E$ , $B=$ множество всех верхних граней $E$ .
Между $A$ и $B$ лежит число $s$ .
Оно само верхняя грань, а $s\le b$ для каждой верхней грани $b$ .
Значит $s=\sup E$ .
Для $\inf E$ примени результат к $-E=\{-x:x\in E\}$ : $\inf E=-\sup(-E)$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.