ТЕМА 11 / 55 · ПУНКТ 11 10–15 минут

Поле и аксиомы порядка

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки4 обозначения

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$b$: Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
$c$: Заданное число или точка, о которой идёт речь.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Поле — множество с операциями, подчиняющимися правилам пункта 10.
На $\R$ дополнительно задан порядок $\le$ : для $a,b$ ровно один случай $a<b$ , $a=b$ , $a>b$ .
Из $a<b$ и $b<c$ следует $a<c$ .
Из $a<b$ следует $a+c<b+c$ .
Из $a<b$ и $c>0$ следует $ac<bc$ .
Это упорядоченное поле.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Порядок согласован с действиями

Если a < b, прибавление c сохраняет знак. При умножении на положительное c знак тоже сохраняется.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Почему знак неравенства меняется при умножении на отрицательное $c$ ?
Если $c<0$ , то $-c>0$ .
Из $a<b$ получаем $a(-c)<b(-c)$ ; умножая обе части на $-1$ в записи, получаем $ac>bc$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.