ТЕМА 20 / 55 · ПУНКТ 20 10–15 минут

Принцип Архимеда и следствия

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки12 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$b$: Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$m$: Другой натуральный номер; помогает сравнить два члена.
$s$: Частичная сумма ряда: сумма первых нескольких слагаемых.
$\N$: Множество натуральных чисел: 1, 2, 3, …
$\Q$: Множество рациональных чисел: дробей вида p/q, где q ≠ 0.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\sup$: Супремум: наименьшая из всех верхних граней множества.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Для любого $x\in\R$ найдётся $n\in\N$ с $n>x$ .

Следствия: для $\eps>0$ существует $n$ с $1/n<\eps$ ; между разными $a<b$ есть рациональное число.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Архимедово свойство

Как бы велико ни было x, натуральные числа когда-нибудь его обгонят: существует n > x.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Если бы $\N$ была ограничена сверху, существовало бы $s=\sup\N$ .
По характеристике супремума найдётся $n\in\N$ с $n>s-1$ .
Тогда $n+1>s$ , противоречие.
Для $1/n<\eps$ возьми $n>1/\eps$ .
Для плотности $\Q$ выбери $n$ с $n(b-a)>1$ ; среди целых чисел есть $m$ с $na<m<nb$ (можно взять наименьшее целое, большее $na$ ).
Тогда $a<m/n<b$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.