ТЕМА 18 / 55 · ПУНКТ 18 10–15 минут

Математическая индукция

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки8 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$b$: Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$I$: Набор индексов или промежуток; точный смысл указан в формуле.
$P$: Утверждение, истинность которого проверяем.
$\N$: Множество натуральных чисел: 1, 2, 3, …
$\Rightarrow$: «Следует»: если верно условие слева, то верно утверждение справа.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Если $P(1)$ верно и $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ при каждом $n\in\N$ , то $P(n)$ верно для всех $n\in\N$ .

Пример

$1+\cdots+n=n(n+1)/2$ : база $n=1$ очевидна.

Прибавление $n+1$ к формуле для $n$ даёт $(n+1)(n+2)/2$ .

Факт

$\N$ замкнуто относительно сложения и умножения.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Шаг индукции

Докажи старт P(1), затем переход P(n) ⇒ P(n+1): цепочка охватит все натуральные n.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Часть 01

Часть 02

Для фиксированного $a\in\N$ индукция по $b$ даёт $a+b\in\N$ : база $a+1$ , переход $(a+b)+1$ .
Для умножения база $a\cdot1=a$ , переход $a(b+1)=ab+a\in\N$ по уже доказанной замкнутости сложения.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.