ТЕМА 54 / 55 · ПУНКТ 57 10–15 минут

Асимптотическое сравнение функций

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки7 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$h$: Небольшая положительная прибавка, которой сдвигаем число.
$o$: Малое o: f=o(g) означает, что f/g → 0.
$O$: Большое O: f=O(g) означает, что |f/g| ограничено.
$f$: Функция: правило, которое каждому допустимому аргументу сопоставляет значение.
$g$: Другая функция, например для сравнения или композиции с f.
$\sim$: Обычно означает эквивалентность; в асимптотике — отношение функций стремится к 1.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Пример

При $x\to0$ из пункта 55: $\sin x\sim x$ и $x^2=o(x)$ .

Из $\sin x=x+o(x)$ следует $\sin x/x=1+o(1)$ .

Факт

Если $f\sim g$ и $g\sim h$ , то $f\sim h$ .

РАЗБЕРИ ПО РИСУНКУ

Около нуля sin x почти совпадает с x: отношение sin x / x стремится к 1. Кривая x² убывает ещё быстрее.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

$f/h=(f/g)(g/h)\to1\cdot1=1$ по арифметике пределов.
Для сумм заменять слагаемые эквивалентными опасно из-за сокращения: $\sin x\sim x$ , но $\sin x-x=o(x)$ , так что главный член исчезает.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.