ТЕМА 45 / 55 · ПУНКТ 46 10–15 минут

Топологическое пространство

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки12 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$r$: Радиус шара или окрестности.
$E$: Множество вещественных чисел, которое изучаем.
$F$: Замкнутое множество: оно содержит все свои предельные точки.
$U$: Универсальное множество: все объекты, среди которых берём дополнение.
$X$: Множество исходных элементов; для функции — её область определения.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\tau$: Топология: семейство всех открытых множеств пространства.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\subseteq$: «Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.
$\setminus$: Разность: элементы первого множества, которых нет во втором.
$\varnothing$: Пустое множество: в нём нет ни одного элемента.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Топология $\tau$ на $X$ — набор открытых подмножеств, который содержит $\varnothing$ и $X$ , замкнут относительно произвольных объединений и конечных пересечений.
Пара $(X,\tau)$ — топологическое пространство.
Множество $F$ замкнуто, если $X\setminus F$ открыто.
Точка $x$ внутренняя для $E$ , если существует открытое $U$ с $x\in U\subseteq E$ .
Граничная — если каждая её окрестность встречает и $E$ , и $X\setminus E$ .

Пример

Обычная топология $\R$ состоит из объединений открытых интервалов.

В дискретной топологии открыто любое подмножество.

РАЗБЕРИ ПО РИСУНКУ

У точки x есть маленькие окрестности внутри U и V. Берём меньший из двух радиусов.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Почему пересечение двух открытых множеств открыто в метрическом пространстве?
Для точки $x$ из пересечения найдутся радиусы $r_1,r_2>0$ , чьи шары лежат в каждом множестве.
Шар радиуса $\min(r_1,r_2)$ лежит в пересечении.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.