ТЕМА 49 / 55 · ПУНКТ 50 10–15 минут

Финально постоянные и бесконечно малые функции

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки11 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$c$: Заданное число или точка, о которой идёт речь.
$B$: Элемент базы: область допустимых аргументов, достаточно близких к пределу.
$f$: Функция: правило, которое каждому допустимому аргументу сопоставляет значение.
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\alpha$: Бесконечно малая функция: её значения стремятся к нулю.
$\beta$: Вторая бесконечно малая функция, которую складываем с α.
$\mathcal B$: База: семейство областей, по которым аргумент приближается к пределу.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\subseteq$: «Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.
$\cap$: Пересечение: элементы, которые есть одновременно в обоих множествах.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

$f$ финально постоянна по базе $\B$ , если существуют $B\in\B$ и число $c$ такие, что $f(x)=c$ для каждого $x\in B$ .
Бесконечно малая по базе $\B$ — функция $\alpha$ , для которой $\lim_{\B}\alpha=0$ , то есть для любого $\eps>0$ найдётся $B\in\B$ с $|\alpha(x)|<\eps$ при всех $x\in B$ .

Факт

Финально постоянная функция со значением $c$ имеет предел $c$ .

Сумма двух бесконечно малых функций тоже бесконечно малая.

Пример

Функция $f(x)=7$ финально постоянна по любой базе.

При $x\to0$ функция $\alpha(x)=x^2$ бесконечно малая: для заданного $\eps>0$ достаточно взять $0<|x|<\sqrt{\eps}$ .

РАЗБЕРИ ПО РИСУНКУ

Какую бы узкую полосу (−ε, ε) ты ни выбрал, найдётся элемент базы B, на котором все значения α(x) лежат внутри неё.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Если $f(x)=c$ на некотором $B$ , то $|f(x)-c|=0<\eps$ для любого $\eps>0$ и каждого $x\in B$ .
Если $\alpha$ и $\beta$ бесконечно малые, для заданного $\eps>0$ выбери элементы базы $B_1,B_2$ , где $|\alpha|<\eps/2$ и $|\beta|<\eps/2$ .
По свойству базы найдётся непустой $B_3\subseteq B_1\cap B_2$ ; на нём $|\alpha+\beta|\le|\alpha|+|\beta|<\eps$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.