ТЕМА 46 / 55 · ПУНКТ 47 10–15 минут

Окрестности и шары в метрике

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки10 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$y$: Другое число или результат функции: часто пишут y = f(x).
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$d$: Расстояние между двумя точками.
$r$: Радиус шара или окрестности.
$B$: Другое множество, с которым сравниваем A.
$S$: Сумма бесконечного ряда, если ряд сходится.
$\rho$: Радиус малого шара вокруг выбранной точки.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\subseteq$: «Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Открытый шар $B_r(a)=\{x:d(x,a)<r\}$ , замкнутый шар $\overline B_r(a)=\{x:d(x,a)\le r\}$ , сфера $S_r(a)=\{x:d(x,a)=r\}$ .
Окрестность точки $a$ — множество, содержащее некоторый открытый шар вокруг $a$ .
$r>0$ — радиус, $a$ — центр.

Факт

Всякий открытый шар — открытое множество.

Ловушка

В произвольной метрике замкнутый шар может не быть замыканием открытого шара; название означает лишь условие $d\le r$ .

РАЗБЕРИ ПО РИСУНКУ

Запас до границы равен ρ = r − d(a,x). По неравенству треугольника шар Bρ(x) остаётся внутри Br(a).

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Если $x\in B_r(a)$ , положим $\rho=r-d(a,x)>0$ .
Для любого $y$ с $d(x,y)<\rho$ по неравенству треугольника $d(a,y)\le d(a,x)+d(x,y)<r$ .
Значит $B_\rho(x)\subset B_r(a)$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.