ТЕМА 55 / 55 · ПУНКТ 58 10–15 минут

Непрерывные отображения

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки15 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$d$: Расстояние между двумя точками.
$X$: Множество исходных элементов; для функции — её область определения.
$Y$: Множество возможных значений функции.
$f$: Функция: правило, которое каждому допустимому аргументу сопоставляет значение.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\delta$: Насколько близко должен быть аргумент, чтобы обеспечить точность ε.
$\forall$: «Для любого»: утверждение должно быть верно при каждом допустимом выборе.
$\exists$: «Существует»: достаточно найти хотя бы один подходящий объект.
$\Rightarrow$: «Следует»: если верно условие слева, то верно утверждение справа.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

$f:X\to Y$ между метрическими пространствами непрерывна в $a\in X$ , если $\forall\eps>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in X:\ d_X(x,a)<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(a))<\eps$ .
Непрерывна на $X$ , если это верно в каждой точке.
В $\R$ это равенство $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ , когда $a$ — предельная точка области определения.

Факт

Последовательностный критерий: $f$ непрерывна в $a$ тогда и только тогда, когда для всякой $x_n\to a$ имеем $f(x_n)\to f(a)$ .

РАЗБЕРИ ПО РИСУНКУ

Непрерывность: близкий x даёт близкий f(x)

На примере f(x)=x² при a=1: если |x−1|<0,2, то |f(x)−1|<0,5.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Доказательство

Прямое направление: применяем определение к членам последовательности.
Обратное: если непрерывности нет, существует $\eps_0>0$ , для каждого $n$ можно выбрать $x_n$ с $d_X(x_n,a)<1/n$ , но $d_Y(f(x_n),f(a))\ge\eps_0$ .
Это противоречит последовательностному свойству.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.

ПредыдущаяАсимптотическое сравнение функций