ТЕМА 53 / 55 · ПУНКТ 56 10–15 минут

Предел монотонной функции

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки11 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$b$: Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
$c$: Заданное число или точка, о которой идёт речь.
$L$: Предельное значение; точный смысл задаётся формулой.
$M$: Верхняя граница: число, выше которого значения не поднимаются.
$f$: Функция: правило, которое каждому допустимому аргументу сопоставляет значение.
$\varepsilon$: Любая выбранная точность результата: насколько близко нужно подойти к пределу.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Если $f$ не убывает на $(a,b)$ , то для внутренней точки $c$ существуют односторонние пределы $f(c-0)=\sup_{x<c}f(x)$ и $f(c+0)=\inf_{x>c}f(x)$ (возможно бесконечные).

Всегда $f(c-0)\le f(c)\le f(c+0)$ .

РАЗБЕРИ ПО РИСУНКУ

У монотонной функции пределы могут различаться

Слева значения приближаются к L₋, справа — к L₊. В самой точке c значение лежит между ними.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Доказательство

Пусть $L=\sup_{x<c}f(x)$ конечен.
По свойству супремума для каждого $\eps>0$ есть $x_0<c$ с $L-\eps<f(x_0)\le L$ .
Для $x\in(x_0,c)$ монотонность даёт $L-\eps<f(x)\le L$ .
Значит $f(x)\to L$ слева.
Если $L=+\infty$ , по определению неограниченности для каждого $M$ найдётся $x_0<c$ с $f(x_0)>M$ , и дальше $f(x)>M$ .
Правый случай симметричен.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.

ПредыдущаяПервый и второй замечательные пределыСледующая Асимптотическое сравнение функций