ТЕМА 52 / 55 · ПУНКТ 55 10–15 минут

Первый и второй замечательные пределы

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки8 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$e$: Число Эйлера: примерно 2,71828.
$t$: Новая переменная t = 1/x: когда x → 0, значение t уходит к бесконечности.
$\pi$: Число пи, примерно 3,14159; угол π/2 — прямой угол в радианах.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\sim$: Обычно означает эквивалентность; в асимптотике — отношение функций стремится к 1.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ (углы в радианах), $\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$ при $1+x>0$ .

Следствия: $\sin x\sim x$ , $\tan x\sim x$ , $\ln(1+x)\sim x$ , $e^x-1\sim x$ при $x\to0$ ; $\ln$ и $e^x$ здесь понимаются как взаимно обратные непрерывные функции.

РАЗБЕРИ ПО РИСУНКУ

Первый замечательный предел: три площади

Для 0 < x < π/2 площадь внутреннего треугольника меньше сектора, а сектор меньше внешнего треугольника.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Доказательство

Часть 01

Для первого при $0<x<\pi/2$ сравнение площадей сектора единичного круга и двух треугольников даёт $\sin x<x<\tan x$ .
Делим на положительное $x$ и преобразуем: $\cos x<\sin x/x<1$ .
Здесь $\cos x\to1$ : из $0\le1-\cos x=2\sin^2(x/2)\le x^2/2$ следует требуемое по зажатию.
Поэтому и $\sin x/x\to1$ .
Для отрицательных $x$ отношение $\sin x/x$ чётно.

Часть 02

Для второго сначала $x>0$ и $t=1/x\to+\infty$ .
Если $n\le t<n+1$ , то $\left(1+\frac1{n+1}\right)^n\le\left(1+\frac1t\right)^t\le\left(1+\frac1n\right)^{n+1}.$ Обе крайние последовательности стремятся к $e$ по пункту 36 (дополнительный множитель $1+1/n\to1$ ).
При $x<0$ положим $t=-1/x\to\infty$ .
Тогда $(1+x)^{1/x}=(1-1/t)^{-t}=(1+1/(t-1))^t$ , то есть произведение $(1+1/(t-1))^{t-1}\cdot(1+1/(t-1))\to e$ .
Для $\ln(1+x)\sim x$ берём логарифм второго предела и его непрерывность: $\ln(1+x)/x\to\ln e=1$ .
Остальные следствия получаются заменой переменной и делением на уже известные эквиваленты.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.

ПредыдущаяПредел композицииСледующая Предел монотонной функции