ТЕМА 50 / 55 · ПУНКТ 51 10–15 минут

Арифметика предела по базе

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки5 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$A$: Предельное значение функции: число или точка, к которой стремится f(x).
$C$: Предел второй функции g; поэтому предел f + g равен A + C.
$f$: Функция: правило, которое каждому допустимому аргументу сопоставляет значение.
$g$: Другая функция, например для сравнения или композиции с f.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Факт

Если $f\to A$ , $g\to C$ по одной базе, то $f+g\to A+C$ , $fg\to AC$ , а $f/g\to A/C$ при $C\ne0$ и финальной определённости частного.

РАЗБЕРИ ПО РИСУНКУ

На достаточно малом B обе ошибки малы одновременно. Ошибка суммы не больше суммы отдельных ошибок.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Сумма: $|(f+g)-(A+C)|\le|f-A|+|g-C|$ .
Произведение: $fg-AC=(f-A)g+A(g-C)$ .
На элементе базы, где $|g-C|<1$ , имеем $|g|<|C|+1$ , поэтому оба слагаемых стремятся к нулю.
Для частного на элементе базы, где $|g-C|<|C|/2$ , имеем $|g|>|C|/2$ и используем ту же оценку, что в пункте 29.
Чтобы все оценки выполнялись одновременно, выбираем более мелкий элемент базы, лежащий в пересечении нужных элементов.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.