ТЕМА 47 / 55 · ПУНКТ 48 10–15 минут

База как базис фильтра

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки17 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$n$: Натуральный номер члена последовательности или количество шагов.
$N$: Номер, начиная с которого утверждение верно для всех следующих членов.
$B$: Элемент базы: область допустимых аргументов, достаточно близких к пределу.
$M$: Верхняя граница: число, выше которого значения не поднимаются.
$X$: Множество исходных элементов; для функции — её область определения.
$\N$: Множество натуральных чисел: 1, 2, 3, …
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\delta$: Насколько близко должен быть аргумент, чтобы обеспечить точность ε.
$\mathcal B$: База: семейство областей, по которым аргумент приближается к пределу.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\subseteq$: «Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.
$\cap$: Пересечение: элементы, которые есть одновременно в обоих множествах.
$\setminus$: Разность: элементы первого множества, которых нет во втором.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

База $\B$ в $X$ — семейство непустых подмножеств $X$ такое, что для любых $B_1,B_2\in\B$ найдётся $B_3\in\B$ с $B_3\subseteq B_1\cap B_2$ .
Её элементы — «достаточно поздние» области аргумента.

Пример

Для $x\to a$ в $\R$ : $\B=\{(a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\}:\delta>0\}$ .

Для $x\to+\infty$ : $\{(M,\infty):M\in\R\}$ .

Для последовательностей $n\to\infty$ : $\{\{n\in\N:n>N\}:N\in\N\}$ .

РАЗБЕРИ ПО РИСУНКУ

Две проколотые окрестности можно уточнить

Берём δ₃ = min(δ₁, δ₂): её проколотый интервал лежит в обоих исходных.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Доказательство

Для двух проколотых интервалов с радиусами $\delta_1,\delta_2$ интервал радиуса $\min(\delta_1,\delta_2)$ содержится в обоих, а его проколотая версия непуста.
Так проверяется свойство базы в $\R$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.

ПредыдущаяОкрестности и шары в метрикеСледующая Предел функции по базе