ТЕМА 08 / 55 · ПУНКТ 8 10–15 минут

Композиция и обратное отображение

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки13 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$y$: Другое число или результат функции: часто пишут y = f(x).
$u$: Выбранный элемент множества или левый конец промежутка.
$h$: Третья функция в цепочке композиции h ∘ g ∘ f.
$z$: Третий элемент или третья точка, помимо x и y.
$X$: Множество исходных элементов; для функции — её область определения.
$Y$: Множество возможных значений функции.
$Z$: Третье пространство: туда попадает результат композиции функций.
$f$: Функция: правило, которое каждому допустимому аргументу сопоставляет значение.
$g$: Другая функция, например для сравнения или композиции с f.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\circ$: Композиция функций: сначала применяем правую, затем левую.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Если $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ , то $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ .
Сначала действует $f$ .
Обратное $f^{-1}:Y\to X$ удовлетворяет $f^{-1}(f(x))=x$ и $f(f^{-1}(y))=y$ .

Факт

Обратное существует тогда и только тогда, когда $f$ биективна.

Факт

Композиция ассоциативна: $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$ .

Если $f,g$ биекции, то $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ .

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Композиция и обратная функция

Композиция f затем g ведёт из A в C. Обратная f⁻¹ возвращает каждую точку к её единственному прообразу.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Доказательство

Часть 01

При биекции определяем $f^{-1}(y)$ как единственный прообраз $y$ .
Если обратное уже есть, то $f(x_1)=f(x_2)$ после применения $f^{-1}$ даёт $x_1=x_2$ ; а $y=f(f^{-1}(y))$ показывает сюръективность.

Часть 02

В точке $x$ обе расстановки скобок дают одно и то же значение $h(g(f(x)))$ .
Для второй формулы положим $u=g(f(x))$ .
Сначала $g^{-1}(u)=f(x)$ , затем $f^{-1}(f(x))=x$ , поэтому $(f^{-1}\circ g^{-1})((g\circ f)(x))=x$ .
В обратном направлении для $z\in Z$ положим $y=g^{-1}(z)$ : тогда $(g\circ f)((f^{-1}\circ g^{-1})(z))=g(f(f^{-1}(y)))=g(y)=z$ .
Значит $f^{-1}\circ g^{-1}$ действительно обратна к $g\circ f$ .

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.

ПредыдущаяИнъекция, сюръекция, биекцияСледующая Высказывания и кванторы