ТЕМА 05 / 55 · ПУНКТ 5 10–15 минут

Отношение, отображение, функция

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки13 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$y$: Другое число или результат функции: часто пишут y = f(x).
$R$: Отношение между элементами двух множеств.
$X$: Множество исходных элементов; для функции — её область определения.
$Y$: Множество возможных значений функции.
$f$: Функция: правило, которое каждому допустимому аргументу сопоставляет значение.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\subseteq$: «Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\times$: Декартово произведение: множество упорядоченных пар.
$\mapsto$: Показывает, во что функция переводит конкретный аргумент.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Бинарное отношение между $X$ и $Y$ — любое подмножество $R\subseteq X\times Y$ .
Отображение $f:X\to Y$ — отношение, у которого для каждого $x\in X$ есть ровно один $y\in Y$ с $(x,y)\in f$ .
Его пишут $y=f(x)$ .
$X$ — область определения, $Y$ — целевое множество, $f(X)$ — множество значений.
График $\Gamma_f=\{(x,f(x)):x\in X\}$ .

Пример

$y=x^2$ как функция $\R\to\R$ имеет образ $[0,\infty)$ .

Отношение $y^2=x$ на $\R$ не является функцией $x\mapsto y$ : при $x=4$ есть два значения $y=2,-2$ .

Ловушка

Формула сама по себе не задаёт отображение полностью: нужно назвать область определения и целевое множество.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Отображение

От каждого элемента области определения X выходит ровно одна стрелка в целевое множество Y.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.

ПредыдущаяДекартово произведениеСледующая Эквивалентность и фактор множество