ТЕМА 01 / 55 · ПУНКТ 1 10–15 минут

Множества и основные операции

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки13 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$c$: Верхний индекс c у множества означает дополнение: всё из U, что не входит в это множество.
$A$: Множество: набор элементов, для которых проверяем свойство.
$B$: Другое множество, с которым сравниваем A.
$U$: Универсальное множество: все объекты, среди которых берём дополнение.
$\forall$: «Для любого»: утверждение должно быть верно при каждом допустимом выборе.
$\Rightarrow$: «Следует»: если верно условие слева, то верно утверждение справа.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\subseteq$: «Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.
$\cup$: Объединение: элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств.
$\cap$: Пересечение: элементы, которые есть одновременно в обоих множествах.
$\setminus$: Разность: элементы первого множества, которых нет во втором.
$\varnothing$: Пустое множество: в нём нет ни одного элемента.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

$x\in A$ означает, что элемент $x$ принадлежит множеству $A$ .
$A\subseteq B$ означает $\forall x\,(x\in A\Rightarrow x\in B)$ .
Пустое множество $\varnothing$ не содержит элементов.
Объединение $A\cup B$ содержит всё, что лежит хотя бы в одном из двух множеств.
Пересечение $A\cap B$ — то, что лежит в обоих.
Разность $A\setminus B$ — то, что лежит в $A$ , но не в $B$ .
Дополнение $A^c=U\setminus A$ берётся относительно заранее заданного универсального множества $U$ .

Пример

При $A=[0,2]$ , $B=(1,3)$ имеем $A\cap B=(1,2]$ , $A\cup B=[0,3)$ , $A\setminus B=[0,1]$ .

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Операции с множествами

Общая область двух кругов — пересечение A ∩ B; оба круга вместе — объединение A ∪ B.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Доказательство

Почему $A\cap B\subseteq A$ ?
Возьми произвольный $x\in A\cap B$ .
По определению пересечения одновременно $x\in A$ и $x\in B$ , значит $x\in A$ .
Так доказывается любое включение.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.

Следующая Семейства множеств и законы де Моргана