ТЕМА 06 / 55 · ПУНКТ 6 10–15 минут

Эквивалентность и фактор множество

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки12 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$y$: Другое число или результат функции: часто пишут y = f(x).
$a$: Заданное число или точка; в теме о пределах часто это значение, к которому приближаемся.
$b$: Ещё одно заданное число или точка, обычно второй конец промежутка.
$u$: Выбранный элемент множества или левый конец промежутка.
$z$: Третий элемент или третья точка, помимо x и y.
$X$: Множество исходных элементов; для функции — её область определения.
$\Z$: Множество целых чисел: …, −2, −1, 0, 1, 2, …
$\Rightarrow$: «Следует»: если верно условие слева, то верно утверждение справа.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\cap$: Пересечение: элементы, которые есть одновременно в обоих множествах.
$\sim$: Обычно означает эквивалентность; в асимптотике — отношение функций стремится к 1.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Отношение $\sim$ на $X$ — эквивалентность, если оно рефлексивно ( $x\sim x$ ), симметрично ( $x\sim y\Rightarrow y\sim x$ ) и транзитивно ( $x\sim y,\ y\sim z\Rightarrow x\sim z$ ).
Класс $[x]=\{y\in X:y\sim x\}$ .
Фактор-множество $X/{\sim}$ — множество всех различных классов.

Пример

На $\Z$ можно положить $a\sim b\Leftrightarrow 3$ делит $a-b$ .

Тогда есть три класса остатков $[0],[1],[2]$ .

Факт

Два класса либо равны, либо не пересекаются.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Классы эквивалентности

Эквивалентность разбивает A на непересекающиеся классы: каждый элемент попадает ровно в один.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Если $z\in[x]\cap[y]$ , то $x\sim z$ и $z\sim y$ (первое получаем из симметрии при необходимости), значит $x\sim y$ .
Для любого $u\in[x]$ имеем $u\sim x\sim y$ , поэтому $u\in[y]$ ; обратное включение аналогично.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.