ТЕМА 07 / 55 · ПУНКТ 7 10–15 минут

Инъекция, сюръекция, биекция

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки13 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$y$: Другое число или результат функции: часто пишут y = f(x).
$X$: Множество исходных элементов; для функции — её область определения.
$Y$: Множество возможных значений функции.
$f$: Функция: правило, которое каждому допустимому аргументу сопоставляет значение.
$\R$: Множество вещественных чисел: все точки числовой прямой.
$\forall$: «Для любого»: утверждение должно быть верно при каждом допустимом выборе.
$\exists$: «Существует»: достаточно найти хотя бы один подходящий объект.
$\Rightarrow$: «Следует»: если верно условие слева, то верно утверждение справа.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\to$: Стрелка показывает направление отображения или приближения к пределу.
$\mapsto$: Показывает, во что функция переводит конкретный аргумент.
$\infty$: Бесконечность: значения или номера растут без конечной границы.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

$f:X\to Y$ инъективна, если $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ .
Сюръективна, если $\forall y\in Y\ \exists x\in X:\ f(x)=y$ .
Биективна, если оба условия выполнены.

Пример

$x\mapsto x^2$ из $\R$ в $\R$ не инъекция ( $1$ и $-1$ дают одно число) и не сюръекция (нет прообраза у $-1$ ).

Из $[0,\infty)$ в $[0,\infty)$ та же формула — биекция.

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Инъекция, сюръекция, биекция

Инъекция: образы разных элементов различны. Сюръекция: каждый элемент B достигнут. Биекция: оба свойства сразу.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Доказательство

Для биекции каждому $y\in Y$ сюръективность даёт хотя бы один прообраз, а инъективность гарантирует, что он один.
Это и позволяет определить обратное отображение.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.

ПредыдущаяЭквивалентность и фактор множествоСледующая Композиция и обратное отображение