ТЕМА 02 / 55 · ПУНКТ 2 10–15 минут

Семейства множеств и законы де Моргана

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки8 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$i$: Индекс: номер элемента в семействе или слагаемого в сумме.
$c$: Верхний индекс c у множества означает дополнение: всё из U, что не входит в это множество.
$A$: Множество: набор элементов, для которых проверяем свойство.
$I$: Набор индексов или промежуток; точный смысл указан в формуле.
$\forall$: «Для любого»: утверждение должно быть верно при каждом допустимом выборе.
$\exists$: «Существует»: достаточно найти хотя бы один подходящий объект.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Определение и обозначения

Семейство $(A_i)_{i\in I}$ — набор множеств с индексами $i$ из $I$ .
$\bigcup_{i\in I}A_i=\{x:\exists i\in I\;x\in A_i\}$ , $\bigcap_{i\in I}A_i=\{x:\forall i\in I\;x\in A_i\}$ .

Факт

$\left(\bigcup_i A_i\right)^c=\bigcap_i A_i^c$ и $\left(\bigcap_i A_i\right)^c=\bigcup_i A_i^c$ .

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Закон де Моргана

Вне объединения A и B — ровно те точки, которые одновременно лежат вне A и вне B.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

Для первого равенства: $x$ слева $\Leftrightarrow$ $x$ не лежит ни в одном $A_i$ $\Leftrightarrow$ для всякого $i$ выполнено $x\in A_i^c$ $\Leftrightarrow$ $x$ справа.
Второе: «не во всех» равносильно «хотя бы в одном не лежит».
Это же правило отрицания кванторов из пункта 9.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.