ТЕМА 03 / 55 · ПУНКТ 3 10–15 минут

Как доказывать равенство множеств

Сначала пойми идею. Затем попробуй рассказать доказательство своими словами и закрепи результат задачей.

Что означают буквы и значки9 обозначений

Здесь — обозначения, которые встретятся в этой теме. Точный смысл буквы уточняй по формуле рядом с ней.

$x$: Произвольный элемент множества или число, с которым работаем.
$A$: Множество: набор элементов, для которых проверяем свойство.
$B$: Другое множество, с которым сравниваем A.
$C$: Ещё одно множество или предельное значение, указанное в формуле.
$\in$: «Принадлежит»: элемент находится в указанном множестве.
$\subseteq$: «Содержится»: каждый элемент первого множества лежит и во втором.
$\cup$: Объединение: элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств.
$\cap$: Пересечение: элементы, которые есть одновременно в обоих множествах.
$\setminus$: Разность: элементы первого множества, которых нет во втором.

ШАГ 01

Разбираемся в теме

Смысл

Чтобы доказать $A=B$ , покажи два включения $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$ .

Ещё один способ — взять произвольный $x$ и доказать цепочку $x\in A\Leftrightarrow x\in B$ .

Пример

$A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$ .

НАГЛЯДНАЯ СХЕМА · Два включения

Чтобы доказать A = B, проведи две стрелки: каждый элемент A лежит в B и каждый элемент B лежит в A.

ДЛЯ УСТНОГО ОТВЕТА

$x$ слева $\Leftrightarrow$ $x\in A$ и $x\notin B\cup C$ $\Leftrightarrow$ $x\in A$ , $x\notin B$ , $x\notin C$ $\Leftrightarrow$ $x$ справа.
Произвольность $x$ даёт равенство.

Понял идею?Проверь себя на задаче или устном вопросе.